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　　数学的确是人们从感性认知世界到理性度量世界的巨大的转变，既然历史已经走到了这里，那我们可以称它为是一种进步。So，我在这里观叹“上帝创造”的公式——欧拉公式（又称为欧拉恒等式）。

$e^{\pi i}+1=0$

这个公式将复数单位——i，圆周率——$\pi$，自然对数的底数——e，整数的单位——1以及人类最伟大的发明——0，联系在了一起，并由此产生了无限的可能。比如，我们可以解出类似于$x^{2}=-1$方程的解（$i^2=-1$)。也可以将对数函数的定义域扩展到全体实数（扩展这个词是借鉴复数将实数所在的一维数轴扩展成具有实轴和虚轴的二维复平面），例如

$$ln(-5)=ln(5e^{\pi i})$$ $$=ln5+ln(e^{\pi i})=ln5+\pi i$$

是不是打开了新世界的大门？本来在实数集上，$y=lnx$的定义域为$D_{f}={x|x\gt 0}$，而当扩展到了复数集时，ln(-5)就有意义了。再多说一点，既然复数能扩展到二维复平面，那么它还能不能扩展到更多的维度呢？答案是可以的，比如四元组。
下面我以证明欧拉公式为目的，从泰勒公式开始总结：

泰勒公式

　　我们知道当$x→0$时，会存在一些等价无穷小，例如$sin(x)$~$x,tan(x)$~$x$。而采用等价无穷小后，会方便我们对一些函数的性态做研究。一方面，我们令$P(n)$为$f(x)$在$x_{0}$处的等价的多项式，它与$f(x)$之间相差一个无穷小。

$$P(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+$$ $$...+a_{n}(x-x_{0})^{n}　(*)$$

可以想象一下我们拟合曲线时的操作，尽量让拟合的曲线的走势与被拟合的函数一致，说到曲线的趋势，我们必会提到导数。所以，设

$$P(x_0)=f(x_0), P'(x_0)=f'(x_0)$$ $$P''(x_0)=f''(x_0),..., P^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)$$

即是

$$a_0=f(x_0), a_1=f'(x_0)$$ $$2!a_2=f''(x_0),...,n!a_n=f^{(n)}(x_0)$$

所以多项式对应的系数已求出，将之代入(*)式，得到$f(x)$的在$x=x_0$处的泰勒展开式：

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+$$ $$\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)$$

因为本文目的是证明欧拉公式，所以这里就不讨论误差。
下面是用Octave画出y=sinx在x=0处展开3，5阶麦克劳林公式并与y=sinx对比的图像，

可以看出泰勒展开的阶数越高，曲线拟合效果越好。

欧拉公式

由上面定义，我们可以得到三个关键函数在$x=0$处的省略余项的麦克劳林公式:

$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}$$ $$sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+...+(-1)^{(n-1)}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$$ $$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

正式开始证明欧拉公式：
在$e^{x}$的展开式中把$x$换成$±ix$，

$$(±i)^2=-1,(±i)^{3}=∓i,(±i)^{4}=1,...$$ $$e^{±ix}=1±\frac{ix}{1!}-\frac{x^2}{2!}∓\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}$$ $$=(1-\frac{x^2}{2!}+...)±i(x-\frac{x^3}{3!}...)$$

所以

$$e^{±ix}=cosx±isinx$$

分开写得到：

$$e^{ix}=cosx+isinx　　(1)$$ $$e^{-ix}=cosx-isinx　 (2)$$

(1)-(2)得到:

$$sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}　(3)$$

(1)+(2)得到：

$$cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}　 (4)$$

上两式也称为欧拉公式。
对于（1）式，取$x=\pi$，得到欧拉公式：

$e^{\pi i}+1=0$